miércoles, 23 de marzo de 2011

El infinito matemático


Las matemáticas manejan el concepto de infinito a través de operaciones de reiteración y  comparación,  permitiéndose alcanzar dos tipos de infinitos, a saber:
  1. Infinito potencial
  2. Infinito actual.
Infinito potencial
Este tipo de infinito surge de la posibilidad de poder reiterar una operación matemática  (suma, contar…) o acción (dar un simple paso…), de forma indefinida por no estar limitada  la realización de dicha operación o acción.
El infinito potencial es poder realizar algo una vez más, el mejor ejemplo de ello lo constituyen los números naturales, siempre podemos sumar uno y construir otro más “el limite no es alcanzable”. El infinito surge de la posibilidad de “uno más” unido a la posibilidad de lo ilimitado.
El infinito potencial también surge cuando realizamos una reiteración para alcanzar una propiedad matemática de un objeto, en este caso la iteración es ilimitada pero  el valor de la propiedad si es alcanzable. Por ejemplo el área de un circulo se puede alcanzar por la aproximación de polígonos inscritos que tienen un número de lados que crece de forma ilimitada, la pauta es “un lado más…”
El infinito potencial tiene una gran utilidad en el análisis infinitesimal, el cual actúa en un entorno geométrico que trata de calcular longitudes, áreas y volúmenes. En este campo aparecen los conceptos clave del análisis infinitesimal, derivadas, integrales, continuidad…) que necesitan para su formulación del concepto de aproximación ilimitada.
Una función matemática la podemos plantear como la asociación entre una  variable  “x”  un valor  f(x), que dependerá de cómo se defina la expresión matemática que representa la letra f(expresión trigonométrica , potencial, exponencial…).  Este tipo de función (una sola variable) admite una representación grafica en el plano de coordenadasx, y=f(x). Desde ésta perspectiva gráfica resulta muy intuitivo el concepto de continuidad, enunciado como una curva que podemos dibujar sin levantar el lapicero del papel.
Sin embargo resulta muy llamativo como es necesario utilizar el concepto de límite e infinito potencial para establecer una definición formal de un concepto tanto intuitivo como la  continuidad.
Expresado con rigor: un incremento infinitamente  pequeño sobre “x” expresado por la letra  “h”  implica que el valorf(x+h) – f(x) decrece indefinidamente cuando el valor de h tiende a cero.  En representación compacta se puede escribir la siguiente formula.
Que indica que la función es continua en el punto x0, la función será continua si lo es para todos los valores de “x”
Infinito Actual
Es tipo de  infinito descansa y nace de la noción de conjunto y el numero cardinal de éstos, y la capacidad que tenemos para poder comparar conjuntos sin tener que contar sus elementos.
Podemos considerar dos conjuntos el de sillas y el de comensales, si todos los comensales están sentados podemos decir que los dos conjuntos tienen el mismo número, sin tener que contarlos.
De forma intuitiva hemos establecido una relación biyectiva (uno a uno) entre los dos conjuntos, el único requerimiento es que los dos conjuntos deben ser dados o existir en el momento de realizar la comparación. Dicho de otra forma no se les puede definir mediante de una regla  o proceso iterativo.
Un conjunto se dice que es infinito si puede establecerse (definirse)  una relación biyectiva entre el todo del conjunto y una de sus partes. Esta afirmación realiza un planteamiento singular, pues el “todo” debe de ser mayor que una “parte” y la relación debe de ser de uno a uno o dicho en un lenguaje más coloquial, en pie de igual. ¿Cómo se puede hacer viable este planteamiento? La única salida es recurrir al concepto de infinito y considerar que el número de elementos de los dos conjuntos es infinito.
Un ejemplo de lo anterior son los números naturales y los números primos, podemos establecer una correspondencia biyectiva entre ellos, lo cual implica que ambos conjuntos poseen la misma cifra de números y debe de ser infinito.
Nos podemos plantear si existe más de un tipo de “infinitos actuales” y si todos iguales de grades.

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